Question

14．在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠AOB=60°，点E为AD边的中点，AC=8cm，AF⊥BD于点F．求：
（1）AB边的长度．
（2）线段OE的长度．
（3）线段AF的长度．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出OA=OB=OD=OC，证出△AOB是等边三角形，得出AB=OA=4cm；
（2）由三角形中位线定理得出OE=$\frac{1}{2}$AB=2cm即可；
（3）由等边三角形的性质得出BF=$\frac{1}{2}$OB=2cm，由勾股定理求出AF即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4cm，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OB=OD=OC，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=4cm；
（2）∵OB=OD，点E为AD边的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=2cm；
（3）∵△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=4cm，
∵AF⊥BD，
∴BF=$\frac{1}{2}$OB=2cm，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$（cm）．

点评 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明△AOB是等边三角形是解决问题的关键．