Question

2．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是各边的中点，证明图中阴影部分是平行四边形．

Answer 1

分析 ①根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，再根据中点定义可证明AH=FC，进而可得四边形AHCF是平行四边形；
②与①同理可证明四边形AHCF是平行四边形，进而可得AF∥HC，同理：AG∥EC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ANCM是平行四边形；
③连接AC，根据三角形中位线定理可得HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，同理可得EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，进而可得EF∥GH，EF=HG，从而可得四边形EHGF是平行四边形．

解答 证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵H、F是AD和BC中点，
∴AH=$\frac{1}{2}$AD，FC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AH=FC，
∴四边形AHCF是平行四边形；

②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵H、F是AD和BC中点，
∴AH=$\frac{1}{2}$AD，FC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AH=FC，
∴四边形AHCF是平行四边形，
∴AF∥HC，
同理：AG∥EC，
∴四边形ANCM是平行四边形；

③连接AC，
∵F、G分别是AD、DC中点，
∴HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
同理：EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥GH，EF=HG，
∴四边形EHGF是平行四边形．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．