Question

9．如图，在平面直角坐标系中，?OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动，速度为2cm/s
（1）当点P运动多少秒时，四边形PCDA是平行四边形？并求此时点P的坐标；
（2）当△ODP是等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 由四边形OABC是平行四边形，得到OA=BC，OA∥BC，于是得到OA=10，OE=AF=2，得到OD=AD=$\frac{1}{2}$OA=5，
（1）根据四边形PCDA是平行四边形，得到PC=AD，即10-2t=5，解方程即可得到结论；
（2）如图2，分三种情况①当PD=OD=5时，过P作PE⊥OA于E，则PE=4，得到DE=3，求出P₁（8，4），②当PD=OP时，过P作PF⊥OA于F，则PF=4，OF=$\frac{5}{2}$，得到P₃（$\frac{5}{2}$，4）；③当PO=OD=5时，过P作PG⊥OA于G，则PG=4，得到P₂（3.4）．

解答 解：如图1，过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC，OA∥BC，
∵A，C的坐标分别为（10，0），（2，4），
∴OA=10，OE=AF=2，
∴BC=10，
∵点D是OA的中点，
∴OD=AD=$\frac{1}{2}$OA=5，
（1）设点P运动t秒时，四边形PCDA是平行四边形，
由题意得：PC=10-2t，
∵四边形PCDA是平行四边形，
∴PC=AD，即10-2t=5，
∴t=$\frac{5}{2}$，
∴当点P运动$\frac{5}{2}$秒时，四边形PCDA是平行四边形；
∴P（$\frac{9}{2}$，4）；

（2）如图2，①当PD=OD=5时，过P作PE⊥OA于E，
则PE=4，
∴DE=3，
∴P₁（8，4），
②当PD=OP时，过P作PF⊥OA于F，
则PF=4，OF=$\frac{5}{2}$，
∴P₃（$\frac{5}{2}$，4）；
③当PO=OD=5时，过P作PG⊥OA于G，
则PG=4，
∴OG=3，
∴P₂（3.4），
综上所述：当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为（8，4），（$\frac{5}{2}$，4），（3.4）．

点评 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质世界的推根据．