Question

4．在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示．点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=2．当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，0）
• B． （$\frac{4}{3}$，0）
• C． （$\frac{3}{2}$，0）
• D． （2，0）

Answer 1

分析 将点B向左平移2个单位得到B′（4，4），作点D关于x轴的对称点D′（0，-2），连接B′D′与x轴的交点为E，此时四边形BDEF周长最小，求出直线B′D′的解析式即可解决问题．

解答 解：如图，将点B向左平移2个单位得到B′（4，4），作点D关于x轴的对称点D′（0，-2），连接B′D′与x轴的交点为E，此时四边形BDEF周长最小，
理由∵四边形BDEF的周长为BD+DE+EF+BF，BD与EF是定值，
∴BF+DE最小时，四边形BDEF周长最小，
∵BF+ED=B′E+ED′=B′D′
设直线B′D′为y=kx+b，把（4，4），（0，-2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=4}\\{b=-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线B′D′为y=$\frac{3}{2}$x-2，
令y=0，得x=$\frac{4}{3}$，
∴点E坐标（$\frac{4}{3}$，0）．
故选B．

点评 本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形性质、一次函数等知识，解题的关键是正确找到点E、F的位置，利用一次函数解决交点坐标问题，是数形结合的好题目，属于中考常考题型．