Question

13．如图，已知⊙O中，P是半圆AB上一动点，C是AB延长线上一点，PC=PA
（1）如果BC=OA，求证：PC是⊙O的切线；
（2）设AB=8，AP=x，当直线PC与⊙O相交时，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）只需证明OP⊥CP即可；
（2）分两种情况：①当PC和PB重合时，证得△ACP是等腰直角三角形，即可求得AP=4$\sqrt{2}$，②当PC与⊙O相切时，证得△OPB是等边三角形，即可求得AP=4$\sqrt{3}$，从而求得x的取值范围．

解答 （1）证明：连接OP，BP，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∵PA=PC，
∴∠A=∠C，
∵BC=OA，
∴AB=OC，
在△APB和△CPO中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PC}\\{∠A=∠C}\\{AB=OC}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△CPO（SAS），
∴∠OPC=∠APB=90°，
即OP⊥PC，
∴PC是⊙O的切线．
（2）当PC和PB重合时，
∵PC=PA，
∴△ACP是等腰直角三角形，
∵AC=AB=8，
∴AP=4$\sqrt{2}$，
当PC与⊙O相切时，∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∵PA=PC，
∴∠A=∠C，
在△APB和△CPO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{PA=PC}\\{∠APB=∠CPO=90°}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△CPO（ASA），
∴OP=BP，
∴OP=BP=OB，
∴△OPB是等边三角形，
∴∠ABP=60°，
∴PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=4$\sqrt{3}$，
∴当直线PC与⊙O相交时，求x的取值范围上4$\sqrt{2}$＜x＜4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．