Question

10．k是正整数，a_k，b_k是关于x的方程x²-[（k+1）$\sqrt{k}$+k$\sqrt{k+1}$]x-1=0的两个根，那么$\frac{1}{{a}_{1}+{b}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}+{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2011}+{b}_{2011}}$=$\frac{1006-\sqrt{503}}{1006}$．

Answer 1

分析 由根与系数的关系可得出a_k+b_k的值，取其倒数进行化简后得$\frac{1}{{a}_{k}+{b}_{k}}$=$\frac{1}{\sqrt{k}}$-$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$，将其代入所给算式中即可得出结论．

解答 解：∵a_k，b_k是关于x的方程x²-[（k+1）$\sqrt{k}$+k$\sqrt{k+1}$]x-1=0的两个根，
∴a_k+b_k=（k+1）$\sqrt{k}$+k$\sqrt{k+1}$，$\frac{1}{{a}_{k}+{b}_{k}}$=$\frac{1}{（k+1）\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{k}}$-$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}+{b}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}+{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2011}+{b}_{2011}}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2011}}$-$\frac{1}{\sqrt{2012}}$=1-$\frac{1}{\sqrt{2012}}$=$\frac{2012-\sqrt{2012}}{2012}$=$\frac{1006-\sqrt{503}}{1006}$．
故答案为：$\frac{1006-\sqrt{503}}{1006}$．

点评 本题考查了根与系数的关系以及分式的化简，解题的关键是找出$\frac{1}{{a}_{k}+{b}_{k}}$=$\frac{1}{\sqrt{k}}$-$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根的和，将其代入所给算式中求和即可．