Question

9．如图，已知一次函数y=kx+b的图象分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，OB=4，OE=2．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求线段CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据给定线段的长度以及∠ABO的正切值可求出点C的坐标，结合点C的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）结合B、C点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出D点的横坐标，将其代入反比例函数中即可求出D点的坐标，最后再由两点间的距离公式求出线段CD长度即可．

解答 解：（1）设该反比例函数的解析式为y=$\frac{m}{x}$，
∵tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，OB=4，OE=2，
∴CE=$\frac{1}{2}$（OB+OE）=3，
∴点C的坐标为（-2，3）．
∵点C在该反比例函数图象上，
∴3=$\frac{m}{-2}$，解得：m=-6．
∴该反比例函数的解析式为y=-$\frac{6}{x}$．
（2）∵点B（4，0），点C（-2，3）在一次函数y=kx+b的图象上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=4k+b}\\{3=-2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2．
令y=-$\frac{1}{2}$x+2=-$\frac{6}{x}$，即x²-4x-12=0，
解得：x=-2，或x=6．
∵当x=6时，y=-$\frac{6}{6}$=-1，
即点D的坐标为（6，-1）．
∵点C坐标为（-2，3），
∴CD=$\sqrt{[6-（-2）]^{2}+（-1-3）^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）求出点C的坐标；（2）求出点D的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定条件求出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．