Question

12．如图，△ABC内接于圆O，点D在AC边上，AD=2CD，在BC弧上取一点E，使得∠CDE=∠ABC，连接AE，则$\frac{AE}{DE}$等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 连接CE，根据∠ABC=∠AEC且∠CDE=∠ABC可得∠AEC=∠EDC，可证得△ACE∽△ECD，得出$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AC}{CE}$=$\frac{CE}{DC}$，设CD=x，则AD=2x，AC=3x，分别表示出AC的长，进而表示出CE的长，可得AE：DE的值．

解答 解：连接CE，如图所示：∵∠ABC=∠AEC，∠CDE=∠ABC，
∴∠AEC=∠EDC，
又∵∠ACE=∠ECD，
∴△ACE∽△ECD，
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AC}{CE}$=$\frac{CE}{DC}$，∵AD=2CD，
∴$\frac{AD}{CD}$=2，
设CD=x，则AD=2x，AC=3x，
则CE²=AC•DC=3x²，
得：CE=$\sqrt{3}$x
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AC}{CE}$=$\frac{3x}{\sqrt{3}x}$=$\sqrt{3}$；
故选：C．

点评 本题主要考查相似三角形的性质与判定及圆周角定理的运用，根据圆周角定理得出两角相等是证明三角形相似的前提，根据相似性质得到对应边成比例是关键．