Question

19．如图，直线y=2x+3与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象相交于点B（a，5），且与x轴相交于点A．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）若P为y轴上的点，且△BOP的面积是△AOB的面积的$\frac{1}{3}$，请求出P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）有点B在直线y=2x+3上，可求出a的值，即得出点B的坐标，由点B的坐标结合待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（2）设点P的坐标为（0，m）．令直线y=2x+3中的y=0，可求出点A的坐标，利用三角形的面积公式结合面积间的关系即可得出关于m的方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵点B（a，5）在直线y=2x+3上，
∴2a+3=5，解得：a=1，
∴点B的坐标为（1，5）．
∵点B（1，5）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴5=$\frac{k}{1}$，解得：k=5，
∴该反比例函数的表达式为y=$\frac{5}{x}$．
（2）设点P的坐标为（0，m）．
令直线y=2x+3中的y=0，则0=2x+3，
解得：x=-$\frac{3}{2}$，
∴点A的坐标为（-$\frac{3}{2}$，0），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×|-$\frac{3}{2}$|×5=$\frac{15}{4}$．
∵△BOP的面积是△AOB的面积的$\frac{1}{3}$，
∴S_△BOP=$\frac{1}{2}$•|m|•1=$\frac{1}{3}$×$\frac{15}{4}$=$\frac{5}{4}$，
解得：m=±$\frac{5}{2}$．
∴点P的坐标为（0，-$\frac{5}{2}$）或（0，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点B的坐标；（2）利用三角形的面积公式得出关于m的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据已知求出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．