Question

14．函数y=$\frac{k}{x}$和y=-$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象关于y轴对称，我们定义函数y=$\frac{k}{x}$和y=-$\frac{k}{x}$（k≠0）相互为“影像”函数
（1）请写出函数y=2x-3的“影像“函数：y=-2x-3；
（2）函数y=x²+3x-5的”影像“函数是y=x²-3x-5；
（3）若一条直线与一对”影像“函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）和y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）的图象分别交于点A、B、C（点A、B在第一象限），如图，如果CB：BA=1：2，点C在函数y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）的”影像“函数上的对应点的横坐标是1，求点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）关于y轴对称x用-x代替即可．
（2）关于y轴对称x用-x代替即可．
（3）作CC⊥x轴，BB′⊥x轴，AA′⊥x轴垂足分别为C′、B′、A′．设点B（m，$\frac{2}{m}$），A（n，$\frac{2}{n}$），其中m＞0，n＞0，列出方程组消去n即可解决问题．

解答 解：（1）令-x=x得y=-2x-3，
故答案为y=-2x-3．
（2）令-x=x得y=x²+3x-5，
故答案为y=x²+3x-5．
（3）如图作CC⊥x轴，BB′⊥x轴，AA′⊥x轴垂足分别为C′、B′、A′．
设点B（m，$\frac{2}{m}$），A（n，$\frac{2}{n}$），其中m＞0，n＞0，
由题意，将x=-1代入y=-$\frac{2}{x}$中解得y=2，
∴点C（-1，2），∴CC′=2，BB′=$\frac{2}{m}$，AA′=$\frac{2}{n}$，
又，A′B′=n-m，B′C′=m+1，CC′∥BB′∥AA′，CB：AB=1：2，
则$\left\{\begin{array}{l}{n-m=2（m+1）}\\{\frac{2}{m}-\frac{2}{n}=\frac{2}{3}（2-\frac{2}{n}）}\end{array}\right.$消去n化简得到3m²-2m-3=0，
解得m=$\frac{1+\sqrt{10}}{3}$或$\frac{1-\sqrt{10}}{3}$（舍弃），
∴$\frac{2}{m}$=$\frac{2}{\frac{1+\sqrt{10}}{3}}$=$\frac{-2+2\sqrt{10}}{3}$，
∴点B坐标为（$\frac{1+\sqrt{10}}{3}$，$\frac{-2+2\sqrt{10}}{3}$）．

点评 本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是设两个参数m、n，把问题转化为方程组解决，题目有一定难度，属于中考压轴题．