Question

18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过点A（-1，0）和点B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）若点P在直线x=2上运动，当点P到直线AD的距离d等于点P到x轴的距离时，求d得值；
（3）如图2，直线AC：y=-x+m经过点A，交y轴于点C．探究：在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使得S_△CDA=2S_△ACM？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A、B两点的坐标直接算出a，b即可，配成顶点式，得出顶点坐标；
（2）设出P点的纵坐标，过P作PM⊥AD于点M，设直线AD与直线x=2交于点G，将PG用P点的纵坐标表示；分两种情况讨论：①若点P在第一象限，则PG=6-d；②若点P在第四象限，则PG=6+d．分别算出d的值．
（3）要使得S_△CDA=2S_△ACM，则只需M点到直线AC的距离是点D到直线AC的距离的一半即可，过点D作DE∥AC，交y轴于点E，过EC的中点F且平行于AC的直线与抛抛物线的交点就是所求的点，联立方程组解之即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过点A（-1，0）和点B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）．
（2）如图，设P（2，y_P），过P作PM⊥AD于点M，设直线AD与直线x=2交于点G，

则PM=d=|y_P|，
直线AD的解析式为y=2x+2，
∴G（2，6），
∴PG=6-y_P，
∵$sin∠AGP=\frac{AN}{AG}=\frac{3}{3\sqrt{5}}$，
∴$\frac{PM}{PG}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴PG=$\sqrt{5}$|y_P|=$\sqrt{5}$d，
①若点P在第一象限，则PG=6-d，
∴$\sqrt{5}$d=6-d，∴d=$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$，
②若点P在第四象限，则PG=6+d，
∴$\sqrt{5}$d=6+d，
∴d=$\frac{3\sqrt{5}+3}{2}$，
（3）∵直线AC过点A，所以可求得直线AC：y=-x-1．
过点D作DE∥AC，交y轴于点E，如图，可求得直线DE：y=-x+5．

∴E（0，5），
∴EC的中点F（0，2）．
∴过点F平行于AC的直线为y=-x+2．
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$（舍去）
∴M（$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）．

点评 本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式、锐角三角函数、特殊面积关系的存在性问题、解二元二次方程组等知识点，综合性较强，难度适中．方程思想的应用是解决本题的关键所在．