Question

2．若一个圆经过正方形的对称中心，则称此圆为该正方形的“伴侣圆：”，如图1，正方形ABCD的边长为a，对角线交于点E，已知⊙O是正方形ABCD的“伴侣圆”，其半径为r．
（1）当r=1，a=2时，圆心O可以是C．
A．点A   B．点E   C．线段AB的中点   D．线段AE的中点
（2）如果圆心O在正方形ABCD的边上，且a=1，那么r的取值范围为$\frac{1}{2}$≤r$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）如果r=1，⊙O与正方形ABCD的四边最多有2个公共点，那么a的取值范围为0＜a≤2或a≥2+$\sqrt{2}$．
（4）如果⊙O同时也是边长为3的正方形EFGH的“伴侣圆”，且EF∥AB，a=1，如图2，求当⊙O与直线AB相切时r的值．

Answer 1

分析 （1）根据伴侣圆的定义，圆O经过正方形ABCD对角线的交点E，圆心到点E距离为1，分析得C符合要求；
（2）当圆心O在正方形ABCD四条边的中点时，其半径r最小，当圆心O在正方形ABCD的四个顶点时，半径最大，分别求出半径的最大值，最小值即可．
（3）从大到小画出6种图形即可解决问题．
（4）连接EG，FH交于点O，设⊙O和AB相切于点M，设半径为r，作OK⊥EG于K，交AB于J，由题意AE=EC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，EN=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，推出EK=KN=$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$，AK=KJ=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，在Rt△OKN中，根据OK²+KN²=ON²，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）由正方形性质得，
点A至点E距离为：$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{2}^{2}{+2}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
点E至点E距离为：0，
线段AB的中点至点E距离为1，
线段AE的中点至点E距离为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选C．
（2）当圆心O在正方形ABCD四条边的中点时，其半径r最小为$\frac{1}{2}a$=$\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{2}$，
当圆心O在正方形ABCD的四个顶点时，其半径r最大为$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$≤r$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$≤r$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）如图①～⑥正方形的边长不断缩小，①②③三种情形圆与正方形最多有2个公共点，图③时，a=2+$\sqrt{2}$，图④时交点超过2个，图⑤⑥两种情形是两个交点，
图⑤时，a=2，综上所述0＜a≤2或a≥2+$\sqrt{2}$．
故答案为0＜a≤2或a≥2+$\sqrt{2}$．

（4）连接EG，FH交于点O，设⊙O和AB相切于点M，设半径为r，

作OK⊥EG于K，交AB于J，由题意AE=EC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，EN=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴EK=KN=$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$，AK=KJ=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
在Rt△OKN中，∵OK²+KN²=ON²，
∴（$\frac{5\sqrt{2}}{4}$-$\sqrt{2}$r）²+（$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$）²=r²，
解得r=$\frac{5±2\sqrt{2}}{2}$，
∴当⊙O与直线AB相切时r的值为$\frac{5±2\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查圆的有关性质、正方形的性质、勾股定理等知识，综合性比较强，解题的关键是正确画出图形，学会转化为方程的思想解决问题，熟练掌握特殊三角形边之间的关系，属于中考压轴题．