Question

7．已知⊙O的半径OA=3，B为⊙O上一点，延长OB，在OB延长线上截取一点C，使得BC=2，CD垂直于BC交AB延长线于点D，连接AC，若AC=CD，则AB=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 过O作OE⊥AB于E，由垂径定理得出AB=2BE，由等腰三角形的性质和对顶角相等得出∠OAB=∠OBA=∠CBD，∠ADC=∠DAC，证出∠OAC=90°，由勾股定理求出AC=DC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{A}^{2}}$=4，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，证明△OBE∽△DBC，得出对应边相等$\frac{BE}{BC}=\frac{OB}{BD}$，求出BE，即可得出结果．

解答 解：过O作OE⊥AB于E，如图所示：
则AB=2BE，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=∠CBD，
∵CD⊥BC，
∴∠CBD+∠ADC=90°，
∵AC=DC，
∴∠ADC=∠DAC，
∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=∠CBD+∠ADC=90°，
∴AC=DC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠OEB=∠DCB=90°，∠OBE=∠DBC，
∴△OBE∽△DBC，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{OB}{BD}$，
即$\frac{BE}{2}=\frac{3}{2\sqrt{5}}$，
解得：BE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴AB=2BE=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
故答案为：$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理，由三角形相似得出对应边成比例是解决问题的关键．