Question

17．如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC．
（1）求证：BC∥OP；
（2）若半圆O的半径等于2，填空：
①当AP=2时，四边形OAPC是正方形；
②当AP=2$\sqrt{3}$时，四边形BODC是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质，可以得到OP⊥AC，由AB是圆O的直径，可以得到AC⊥BC，从而可以得到BC∥OP；
（2）①若四边形OAPC是正方形，根据正方形的性质可以得到AP的长；
②若四边形BODC是菱形，根据菱形的性质，通过变形，可以得到AP的长．

解答 （1）证明：连接OC，AC，如右图所示，
∵AB是直径，AM⊥AB，
∴BC⊥AC，AP是圆的切线，
∵PC切半圆O于点C，
∴PA=PC，
又∵OA=OC，
∴OP⊥AC，
∴BC∥OP；
（2）①若四边形OAPC是正方形，则OA=AP，
∵OA=2，
∴AP=2．
故答案为：2；
②若四边形BODC是菱形，则CB=BO=OD=DC，
∵AB=2OB，∠ACB=90°，
∴AB=2BC，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠ABC=60°，
又∵∠OAP=90°，OA=2，
∴∠OPA=30°，
∴OP=4，
∴AP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=2\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．