Question

12．已知关于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若关于x的二次方程y=mx²-（3m-1）x+2m-2=0的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；
（3）在直角坐标系xOy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）本题中，二次项系数m的值不确定，分为m=0，m≠0两种情况，分别证明方程有实数根．
（2）抛物线经过原点，c=0，列出方程即可解决．
（3）列出方程组，有两个交点，△＞0，即可求出b的取值范围．

解答 解：（1）分两种情况讨论．
①当m=0时，方程为x-2=0，x=2．
∴m=0时，方程有实数根．
②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式
△=[-（3m-1）]²-4m（2m-2）
=9m²-6m+1-8m²+8m=m²+2m+1
=（m+1）²≥0，
∴m≠0时，方程有实数根．
故无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
综合①②可知，m取任何实数，方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根；
（2）∵抛物线y=mx²-（3m-1）x+2m-2经过原点，
∴2m-2=0，
∴m=1，
∴抛物线解析式为y=x²-2x．
（3）函数图象如图所示，由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x}\\{y=x+b}\end{array}\right.$消去y得到x²-3x-b=0，
∵两个函数图象有两个交点，
∴△＞O，
∴9+4b＞0，
∴b＞-$\frac{9}{4}$时直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点．

点评 本题考查了一元二次方程的根的情况，二次函数与对应的一元二次方程的联系，讨论一次函数与二次函数图象交点的情况，记住两个函数图象有两个交点，说明方程组有两组解，利用判别式解决问题，属于中考常考题型．