Question

20．在正方形ABCD中，点E在CD边上，AE的垂直平分线分别交AD、CB于F、G两点，垂足为点H．
（1）如图1，求证：AE=FG；
（2）如图2，若AB=9，DE=3，求HG的长．

Answer 1

分析 （1）过D点作DN∥FG交BC于点N，交AE于点M，证出四边形FGND是平行四边形，得出DN=FG，由ASA证明△DNC≌△AED，得出DN=AE，即可得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理求出AE=3$\sqrt{10}$，由三角函数得出tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{1}{3}$，再由三角函数求出FH=$\frac{1}{3}$AH=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，即可得出结果．

解答 （1）证明：过D点作DN∥FG交BC于点N，交AE于点M
在正方形ABCD中，AD∥BC，AD=DC，∠ADC=∠C=90°，
则四边形FGND是平行四边形，
∴DN=FG，
∵FG垂直平分AE，
∴∠FHA=90°
∵DN∥FG，
∴∠DMA=∠FHA=90°，
∴∠NDE+∠AED=90°，
又∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠NDE=∠DAE，
在△DNC和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NDE=∠DAE}&{\;}\\{CD=DA}&{\;}\\{∠C=∠ADC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DNC≌△AED（ASA），
∴DN=AE，
∴AE=FG；
（2）解：在正方形ABCD中，∠D=90°，AD=9，DE=3
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$，
∴在Rt△AHF中，tan∠FAH=$\frac{FH}{AH}$=$\frac{1}{3}$，
点H为AE中点，AH=HE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴FH=$\frac{1}{3}$AH=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴HG=FG-FH=3$\sqrt{10}$-$\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{5\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理．三角函数等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．