Question

11．如图，△ABC中，AB=AC，F为BC的中点，D为CA延长线上一点，∠DFE=∠B．
（1）求证：△CDF∽△BFE；
（2）若EF∥CD，求证：2CF²=AC•CD．

Answer 1

分析 （1）根据外角的性质得到∠EFB=∠FDC，由等腰三角形的性质得到∠C=∠B，证得△CDF∽△BFE；
（2）根据平行线的性质得到∠EFD=∠FDC，∠C=∠EFB，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，等量代换得到∠FDC=∠C，推出△CDF∽△BCA，根据相似三角形的性质得到结论．

解答 （1）证明：∵∠DFB=∠DFE+∠EFB=∠C+∠FDC，
∴∠EFB=∠FDC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴△CDF∽△BFE；

（2）解：∵EF∥CD，
∴∠EFD=∠FDC，
∵∠B=∠C，∠FDC=∠B
∴∠FDC=∠C=∠B，
∴△CDF∽△BCA，
∴$\frac{AC}{FD}=\frac{BC}{CD}$，
∵BC=2CF，DF=CF，
∴$\frac{AC}{CF}=\frac{2CF}{CD}$，
∴2CF²=AC•CD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．