Question

如图，已知一次函数y₁=

1

2

x+b的图象l与二次函数y₂=-x²+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2-

5

，0）．
（1）求二次函数的最大值；
（2）设使y₂＞y₁成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程(1+

1

a-1

)x+

3

x-3

=0的根，求a的值；
（3）若点F、G在图象C′上，长度为

5

的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）首先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出其最大值；
（2）联立y₁与y₂，求出点C的坐标为C（

7

2

，

11

4

），因此使y₂＞y₁成立的x的取值范围为0＜x＜

7

2

，得s=1+2+3=6；将s的值代入分式方程，求出a的值；
（3）第1步：首先确定何时四边形DEFG的面积最大．
如答图1，四边形DEFG是一个梯形，将其面积用含有未知数的代数式表示出来，这个代数式是一个二次函数，根据其最值求出未知数的值，进而得到面积最大时点D、E的坐标；
第2步：利用几何性质确定PD+PE最小的条件，并求出点P的坐标．
如答图2，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，与x轴交于点P．根据轴对称及两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小．利用待定系数法求出直线D′E的解析式，进而求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵二次函数y₂=-x²+mx+b经过点B（0，1）与A（2-

5

，0），
∴

b=1 -(2- 5 )2+(2- 5 )m+b=0

，
解得

m=4 b=1

∴l：y₁=

1

2

x+1；
C′：y₂=-x²+4x+1．
∵y₂=-x²+4x+1=-（x-2）²+5，
∴y_max=5；

（2）联立y₁与y₂得：

1

2

x+1=-x²+4x+1，解得x=0或x=

7

2

，
当x=

7

2

时，y₁=

1

2

×

7

2

+1=

11

4

，
∴C（

7

2

，

11

4

）．
使y₂＞y₁成立的x的取值范围为0＜x＜

7

2

，
∴s=1+2+3=6．
代入方程得(1+

1

a-1

)6+

3

6-3

=0
解得a=

1

7

；

（3）∵点D、E在直线l：y₁=

1

2

x+1上，
∴设D（p，

1

2

p+1），E（q，

1

2

q+1），其中q＞p＞0．
如答图1，过点E作EH⊥DG于点H，则EH=q-p，DH=

1

2

（q-p）．

在Rt△DEH中，由勾股定理得：EH²+DH²=DE²，即（q-p）²+[

1

2

（q-p）]²=（

5

）²，
解得q-p=2，即q=p+2．
∴EH=2，E（p+2，

1

2

p+2）．
当x=p时，y₂=-p²+4p+1，
∴G（p，-p²+4p+1），
∴DG=（-p²+4p+1）-（

1

2

p+1）=-p²+

7

2

p；
当x=p+2时，y₂=-（p+2）²+4（p+2）+1=-p²+5，
∴F（p+2，-p²+5），
∴EF=（-p²+5）-（

1

2

p+2）=-p²-

1

2

p+3．
S_{四边形DEFG}=

1

2

（DG+EF）•EH=

1

2

[（-p²+

7

2

p）+（-p²-

1

2

p+3）]×2=-2p²+3p+3
∴当p=

3

4

时，四边形DEFG的面积取得最大值，
∴D（

3

4

，

11

8

）、E（

11

4

，

19

8

）．
如答图2所示，过点D关于x轴的对称点D′，则D′（

3

4

，-

11

8

）；

连接D′E，交x轴于点P，PD+PE=PD′+PE=D′E，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小．
设直线D′E的解析式为：y=kx+b，
则有

3 4 k+b=- 11 8 11 4 k+b= 19 8

，
解得

k= 15 8 b=- 89 32

∴直线D′E的解析式为：y=

15

8

x-

89

32

．
令y=0，得x=

89

60

，
∴P（

89

60

，0）．

点评：本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、函数最值、分式方程的解、勾股定理、轴对称-最短路线等知识点，涉及考点众多，难度较大．本题难点在于第（3）问，涉及两个最值问题，第1个最值问题利用二次函数解决，第2个最值问题利用几何性质解决．