Question

关于x的一元二次方程x²-3（m+1）x+3m+2=0．
（1）求证：无论m为何值时，方程总有一个根大于0；
（2）若函数y=x²-3（m+1）x+3m+2与x轴有且只有一个交点，求m的值；
（3）在（2）的条件下，将函数y=x²-3（m+1）x+3m+2的图象沿直线x=2翻折，得到新的函数图象G．在x，y轴上分别有点P（t，0），Q（0，2t），其中t＞0，当线段PQ与函数图象G只有一个公共点时，求t的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）先解方程求得x₁=1，x₁=3m+2，再根据x₁=1＞0，即可得出无论m为何值时，方程总有一个根大于0；
（2）根据函数y=x²-3（m+1）x+3m+2与x轴有且只有一个交点，可得出判别式△=0，从而求出m的值；
（3）依题意，得出沿直线x=2翻折后的解析式y=（x-3）²=x²-6x+9，求出与x、y轴的交点坐标，再求得直线PQ的解析式；分两种情况讨论：①当线段PQ与函数图象相切时，△=16-4（9-2t）=0，求得t；②当线段PQ经过点（0，9）时，2t=9，再求得t；综上：当t=

5

2

或t=

9

2

时，线段PQ与函数图象G只有一个公共点．

解答：解：（1）解方程x²-3（m+1）x+3m+2=0，得x₁=1，x₁=3m+2，
∵x₁=1＞0
∴无论m为何值时，方程总有一个根大于0；  
（2）∵若函数y=x²-3（m+1）x+3m+2与x轴有且只有一个交点，
∴△=9（m+1）²-4（3m+2）=0，
∴m=-

1

3

，
（3）当m=-

1

3

时，函数y=x²-2x+1=（x-1）²，
依题意，沿直线x=2翻折后的解析式为：y=（x-3）²=x²-6x+9，
可得，y=（x-3）²=x²-6x+9与x，y轴的交点分别为（3，0），（0，9）．
设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
由P（t，0），Q（0，2t）．
∴直线PQ的解析式为y=-2x+2t，
①当线段PQ与函数图象相切时，-2x+2t=x²-6x+9△=16-4（9-2t）=0
∴t=

5

2

②当线段PQ经过点（0，9）时，2t=9
∴t=

9

2

综上：当t=

5

2

或t=

9

2

时，线段PQ与函数图象G只有一个公共点．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，要掌握各知识点之间的联系．