Question

9．如图，在东西方向的海岸线上有一个码头M，在码头M的正西方向有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距60$\sqrt{3}$千米的A处；经过3小时，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距60千米的B处．
（1）求该轮船航行的速度；
（2）当该轮船到达B处时，一艘海监船从O点出发以每小时16千米的速度向正东方向行驶，请通过计算说明哪艘船先到达码头M．（参考数据：$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{2}$≈1.41）

Answer 1

分析 （1）过A作AD⊥OB于D，根据AD的长可得AB的长，即可得到轮船航行的速度；
（2）选根据BM=2OB=120，OM=$\sqrt{3}$OB=60$\sqrt{3}$，即可得到t_轮船=$\frac{120}{20}$=6h，t_海监船=$\frac{60\sqrt{3}}{16}$≈6.5h，进而得到轮船先到码头M．

解答 解：（1）如图，过A作AD⊥OB于D，则
Rt△AOD中，AD=$\frac{1}{2}$AO=30$\sqrt{3}$，
∴OD=90，
又∵OB=60，
∴BD=30，
∴Rt△ABD中，AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=60，
∴轮船航行的速度=60÷3=20（km/h）；

（2）∵AB=OB，
∴∠MBO=2∠AOB=60°，
∴BM=2OB=120，OM=$\sqrt{3}$OB=60$\sqrt{3}$，
∴t_轮船=$\frac{120}{20}$=6h，t_海监船=$\frac{60\sqrt{3}}{16}$≈6.5h，
∵t_轮船＜t_海监船，
∴轮船先到．

点评 本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理的应用，计算出相关特殊角和作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．