Question

19．如图，在坐标平面中，直线y=$\frac{1}{2}$x-4分别交x轴、y轴于A、B，反比例函数y=$\frac{k}{x}$经过点（-2，-6）．
（1）求k的值；
（2）点C在AD上方第一象限的反比例函数图象上，过点C作y轴的平行线交直线AB于D，若CD=3，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，P在x轴上，Q在y=$\frac{12}{x}$上，若以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P、Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，设C（m，$\frac{12}{m}$）．根据题意求出点D坐标，由CD=3，列出方程即可解决问题；
（3）分三种情形讨论①当PC为对角线时，四边形BPQC为平行四边形，②当BC为对角线时，四边形BPCQ为平行四边形，③当PB为对角线时，四边形BQPC为平行四边形，利用平移的性质，求出点Q的坐标，再利用待定系数法即可解决问题；

解答 解：（1）由题意A（8，0），B（0，-4），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$经过点（-2，-6），
∴k=12，

（2）如图1中，设C（m，$\frac{12}{m}$）．

∵CD∥y轴，点D在y=$\frac{1}{2}$x-4上，
∴D（m，$\frac{1}{2}$m-4），
∴CD=$\frac{12}{m}$-（$\frac{1}{2}$m-4）=3，
解得m=6或-4（舍弃），
∴C（6，2）．

（3）如图2中，设P（n，0）．

①当PC为对角线时，四边形BPQC为平行四边形，
∴PB∥QC，PB=QC，
∴QC可以看作是由PB平移所得，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{Q}-{x}_{P}={x}_{C}-{x}_{B}}\\{{y}_{Q}-{y}_{P}={y}_{C}-{y}_{B}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{Q}=n+6}\\{{y}_{Q}=6}\end{array}\right.$，
∴Q（n+6，6），
∵点Q在y=$\frac{12}{x}$上，
∴6（n+6）=12，
∴n=-4，
∴P₁（-4，0），Q₁（2，6）．
②当BC为对角线时，四边形BPCQ为平行四边形，同法可得Q（6-n，-2），
∵点Q在y=$\frac{12}{x}$上，
∴-2（6-n）=12，
∴n=12，
∴P₂（12，0），Q₂（-6，-2）．
③当PB为对角线时，四边形BQPC为平行四边形，同法可得Q（n-6，-6），
∵点Q在y=$\frac{12}{x}$上，
∴-6（n-6）=12，
∴n=4，
∴P₃（4，0），Q₃（-2，-6），
但是此时P、Q、B、C共线，此种情形不存在．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、平行四边形的性质、待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．