如图.在Rt△AOB中.∠AOB=90°.AO=$\sqrt{3}$.BO=1.AB的垂直平分线交AB于点E.交射线BO于点F.点P从点A出发沿射线AO以每秒2$\sqrt{3}$个单位的速度运动.同时点Q从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度运动.当点Q到达点B时.点P.Q同时停止运动.设运动的时间为t秒．(1)①当t为何值时.PQ∥AB,②当t为何值时.PQ� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=$\sqrt{3}$，BO=1，AB的垂直平分线交AB于点E，交射线BO于点F，点P从点A出发沿射线AO以每秒2$\sqrt{3}$个单位的速度运动，同时点Q从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）①当t为何值时，PQ∥AB；②当t为何值时，PQ∥EF；
（2）当点P在O的左侧时，记四边形PFEQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，若P、Q关于点O的对称点分别为P′、Q′，当线段P′Q′，与线段EF有公共点时，抛物线y=ax²+1经过P′Q′的中点，此时的抛物线与x正半轴交于点M；
①求a的取值范围；
②求点M移动的运动速度．

分析（1）由△OPQ∽△OAB，得$\frac{OP}{OA}=\frac{OQ}{OB}$列出方程即可解决问题．
（2）过点E作EG⊥BF，根据S=$\frac{1}{2}$QF×EG+$\frac{1}{2}$QF×OP=$\frac{1}{2}$QF（EG+OP）计算即可．
（3）①由图象3，可知，$\frac{2}{3}$≤t≤1时，线段P′Q′，与线段EF有公共点，分别求出t=$\frac{2}{3}$，t=1时a的值即可解决问题．
②分别求出a=-16，a=-2时，点M坐标即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，①∵PQ∥AB，
∴△OPQ∽△OAB，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{OQ}{OB}$，
∵AP=2$\sqrt{3}$t，OQ=t，OA=$\sqrt{3}$，BO=1，
∴$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}t}{\sqrt{3}}=\frac{t}{1}$，
∴t=$\frac{1}{3}$，
∴当t=$\frac{1}{3}$时，PQ∥AB；
②∵PQ∥EF，
∴∠QPO=∠ENA，
∵∠AEN=∠QOP=90°，
∴△ANE∽△QOP，
∵∠AOB=90°，
∴tanA=$\frac{BO}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A=∠PQO=30°，
∴$\frac{PO}{QO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}t-\sqrt{3}}{t}$，
∴t=$\frac{3}{5}$，
∴当t=$\frac{3}{5}$时，PQ∥EF；
（2）如图2中，过点E作EG⊥BF，
∵∠BAO=30°，
∴∠OBA=90°-∠BAO=60°，
∵BG=1-t，
∵EF为AB的垂直平分线，
∴BE=1，BF=2，FQ=1+t，
在Rt△BEG中，∠BEG=60°，BE=1，
∴EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$QF×EG+$\frac{1}{2}$QF×OP=$\frac{1}{2}$QF（EG+OP）=$\sqrt{3}$t²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（3）如图3中，①设EF与x轴交于点G．
在RT△AEG中，∵∠AEG=90°，AE=1，∠EAG=30°，
∴cos∠EAG=$\frac{AE}{AG}$，
∴AG=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，OG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当P′₁与点G重合时，t=（$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）÷2$\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}$，
由图象可知，$\frac{2}{3}$≤t≤1时，线段P′Q′，与线段EF有公共点，
当t=$\frac{2}{3}$时，P′₁Q′₁的中点坐标（$\frac{\sqrt{3}}{6}$，-$\frac{1}{3}$），代入y=ax²+1得到，a=-16，
当t=1时，P′₂Q′₂的中点坐标（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），代入y=ax²+1得到，a=-2，
∴-16≤a≤-2．
②当a=-16时，抛物线y=-16x²+1，与正半轴交于点M（$\frac{1}{4}$，0），
当a=-2时，抛物线与正半轴交于点M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
∴点M移动的运动速度=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}$=$\frac{6\sqrt{3}-3}{4}$单位长度/秒．