Question

13．已知：O为直线AB上的一点，射线OA表示北方向，射线OC在北偏东m°的方向，射线OE在南偏东n°的方向，射线OF平分∠AOE，且2m+2n=180．
（1）如图，∠COE=90°，∠COF和∠BOE之间的数量关系为∠BOE=2∠COF．
（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，射线OF仍然平分∠AOE时，试问（1）中∠BOE和∠COF之间的数量关系？请说明理由．
（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠AOE时，则∠BOE和∠COF之间的数量关系发生变化吗？如不变化，说明理由，如变化，写出新的数量关系并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据方向角的定义，以及∠COE=180-m-n，即可根据角的和差关系进行求解；
（2）根据∠COF=90°-∠EOF，∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOE=$\frac{1}{2}$（180°-∠DOE）=$\frac{1}{2}$∠BOE即可证得；
（3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求得∠BOE和∠COF之间的数量关系．

解答 解：（1）如图1，∵2m+2n=180，
∴m+n=90，
∵∠COE=180°-∠AOC-∠BOE=180°-m°-n°=90°；
∵射线OF平分∠AOE，
∴∠AOF=$\frac{1}{2}$（180°-∠BOE）=$\frac{1}{2}$（180°-n°），
∴∠COF=$\frac{1}{2}$（180°-n°）-m°，
由m+n=90可知，m=90-n，
∴∠COF=$\frac{1}{2}$（180°-n°）-m°=$\frac{1}{2}$（180°-n°）-90°+n°=$\frac{1}{2}$n°，
∴∠BOE=2∠COF．
故答案为：90，∠BOE=2∠COF；

（2）∠BOE和∠COF之间的数量关系不发生变化．
证明如下：如图2，∵∠COE=90°
∴∠COF=90°-∠EOF
=90°-$\frac{1}{2}$∠AOE
=90°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BOE）
=90°-90°+$\frac{1}{2}$∠BOE
=$\frac{1}{2}$∠BOE
∴∠BOE=2∠COF；

（3）∠BOE+2∠COF=360°．
理由：如图3，∵∠COF=∠COE+∠EOF=90°+∠EOF，
∠BOE=∠COB+∠COE=90°+∠EOF，
∴∠BOE+∠COF=180°+2∠EOF，
又∵∠AOE=2∠EOF，
∴∠BOE+∠COF=180°+∠AOE，
∴∠BOE+2∠COF=360°．

点评 本题主要考查了方向角的定义，以及角平分线的定义的运用，对定义的熟练掌握是解题的关键．解题时注意角的和差关系的运用．