Question

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点A，B的坐标分别为（6，0），（7，3），将平行四边形OABC绕点O逆时针方向旋转得到平行四边形OA′B′C′，当点C′落在BC的延长线上时，线段OA′交BC于点E，则线段C′E的长度为5．

Answer 1

分析 过点C作CD⊥OC′于点D．利用旋转的性质和面积法求得CD的长，然后通过解直角三角形推知：tan∠COC′=$\frac{3}{4}$．结合图形和旋转的性质得到∠COC′=∠AOE，自点E向x轴引垂线，交x轴于点F，则EF=3．利用等角的正切值相等tan∠AOE=tan∠COC′=$\frac{EF}{OF}$=$\frac{3}{4}$，进而求得OF的长度，则C′E=O′E+O′C=4+1=5．

解答 解：∵OC=OC′，CC′⊥y轴，A，B的坐标分别为（6，0），（7，3），
∴点C到y轴的距离：7-6=1．
∴O′C=O′C′=1，O点到CC′的距离是3，
∴OC=OC′=$\sqrt{10}$，S_△OCC′=$\frac{1}{2}$×2×3=3．
如图，过点C作CD⊥OC′于点D，则$\frac{1}{2}$OC′•CD=3，
∴CD=$\frac{6}{\sqrt{10}}$，sin∠COC′=$\frac{CD}{OC}$=$\frac{3}{5}$，tan∠COC′=$\frac{3}{4}$．
∵∠COC′+∠COE=∠AOE+∠COE，
∴∠COC′=∠AOE，
∴tan∠AOE=tan∠COC′=$\frac{3}{4}$．
如图，过E作x轴的垂线，交x轴于点F，则EF=OO'=3．
∵tan∠AOE=$\frac{EF}{OF}$，
∴OF=$\frac{EF}{tan∠AOE}$=4，
∵OF=O′E=4，
∴C′E=O′E+O′C′=4+1=5．
故答案为：5．

点评 本题考查了平行四边形的性质和旋转的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键与难点，解题时注意面积法的灵活运用．