Question

1．如图，AB是⊙O的直径，AM与BN是⊙0O两条切线，F是⊙O上的一点，连接AF并延长交BN于E，过点O作OC∥AE交BN于点C，连接CF并延长交AM于D．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）探究线段OC、CF、EF间的关系，并证明．
（3）若⊙O的半径为$\sqrt{6}$，AD=2．求EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OF，根据等腰三角形的性质得到∠OAF=∠OFA，根据平行线的性质得到∠BOC=∠OAF=∠AFO=∠FOC，推出△BOC≌△COF，于是得到∠OFC=∠OBC，得到∠OFC=∠OBC=90°，即可得到结论；
（2）连接BF，则∠AFB=∠ABE=90°，通过△ABE∽△BEF，得到BE²=AE•EF，根据三角形中位线的性质得到OC=2AE，等量代换即可得到结论；
（3）连接OD，由AM与BN是⊙0O两条切线，得到AM∥BN，求出∠DOC=90°，根据射影定理得到OF²=DF•CF，等量代换得到OF²=AD•CF，求得OF=$\sqrt{6}$，AD=2，根据勾股定理得到OD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{10}$，OC=$\sqrt{B{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{15}$，根据三角形的面积公式得到$\frac{1}{2}$AF•OD=AD•AO，即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OF，
在⊙O中，
∵OF=OA，
∴∠OAF=∠OFA，
∵OC∥AE，
∴∠BOC=∠OAF=∠AFO=∠FOC，
在△BOC和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OF}\\{∠BOC=∠FOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$
∴△BOC≌△COF，
∴∠OFC=∠OBC，
∵BN是⊙O的切线，切点为B，
∴BA⊥BN，
∴∠OFC=∠OBC=90°，
∴OF⊥CD，
∵OF是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；

（2）2CF²=EF•OC，
证明：连接BF，则∠AFB=∠ABE=90°，
∵∠BAF=∠EAB，
∴△ABE∽△BEF，
∴$\frac{BE}{EF}=\frac{AE}{BE}$，
∴BE²=AE•EF，
∵OC∥AE，AO=BO，
∴BC=CE，
∴OC=2AE，
∵BE=2CF，
∴（2CF）²=EF•2OC，
∴2CF²=EF•OC；

（3）解：连接OD，
∵AM与BN是⊙0O两条切线，
∴AM∥BN，
∴∠ADF+∠BCF=180°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODF=∠ADO，∠FCO=∠BCO，
∴∠ODF+∠OCF=90°，
∴∠DOC=90°，
∵OF⊥CD，
∴OF²=DF•CF，
∵AD=DF，
∴OF²=AD•CF，
∵OF=$\sqrt{6}$，AD=2，
∴CF=BC=CE=3，
∴OD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{10}$，OC=$\sqrt{B{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴$\frac{1}{2}$AF•OD=AD•AO，
∴AF=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，AE=2$\sqrt{15}$，
∴EF=AE-AF=$\frac{6\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了本题主要考查了切线的性质与判定以及全等三角形的判定和性质、勾股定理，本题关键是作出辅助线．