Question

10．如图，菱形ABCD，过点B作直线BE，使得∠ABE=∠BCA，分别交AC、AD于点F、E．若AB=CF．则$\frac{AE}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 设AB=CF=a，AF=b，由△ABF∽△ACB得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AF}{AB}$，所以a²=b（a+b），求出b、a之间的关系，再利用AE∥BC，得$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$即可解决问题．

解答 解：设AB=CF=a，AF=b，
∵∠BAF=∠BAC，∠ABF=∠ACB，
∴△ABF∽△ACB，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AF}{AB}$，
∴a²=b（a+b），
∴b²+ba-a²=0，
∴b=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$a（或b=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$a舍弃），
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BC，∴AD=BC，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是相似三角形性质的正确应用，利用方程思想解决问题，是数形结合的好题目，所以中考常考题型．