Question

9．如图，△ABC中，AE平分∠BAC，CD⊥AE于D，BE⊥AE，F为BC中点，连结DF、EF，若AB=10，AC=6，∠DFE=135°，则△DEF的面积是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 延长CD交AB于M，延长AC、BE交于点N，作EH⊥DF交DF的延长线于H，先证明AN=AC，AB=AN，根据等腰三角形的性质得到DM=DC，EB=EN，根据三角形中位线定理求得DF=FE=2，在RT△EHF中求出HE即可解决问题．

解答 解：延长CD交AB于M，延长AC、BE交于点N，作EH⊥DF交DF的延长线于H．
∵AD⊥CM，
∴∠ADC=∠ADM=90°，
∵∠DAM=∠DAC，∠DAM+∠AMC=90°，∠DAC+∠ACM=90°，
∴∠AMC=∠ACM，
∴AM=AC=6，同理可以证明：AB=AN=10，
∴BM=CN=4，
∵AD⊥CM，AM=AC，
∴DM=DC，同理BE=EN，
∵BF=CF，
∴FD=$\frac{1}{2}$BM=2，EF=$\frac{1}{2}$CN=2，
∵∠DFE=135°，
∴∠EFH=45°，EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\sqrt{2}$，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$•DF•HE=$\sqrt{2}$，
故答案为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的有关知识，解题的关键是正确添加辅助线构造等腰三角形，利用三角形中位线定理解决问题，属于中考常考题型．