Question

17．已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为14或2．

Answer 1

分析 分两种情况：①当AB、CD在圆心O的两侧时，如图1，作辅助线，构建两个直角三角形，先由垂径定理得出BF和ED的长，再利用勾股定理计算出OE和OF的长，相加即可求出距离EF的长；
②当AB、CD在圆心O的同侧时，如图2，同理求得距离EF的长．

解答 解：分两种情况：
①当AB、CD在圆心O的两侧时，如图1，
过O作OE⊥CD于E，延长EO将AB于F，连接OD、OB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∴ED=$\frac{1}{2}$CD，BF=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=12，CD=16，
∴ED=$\frac{1}{2}$×16=8，BF=$\frac{1}{2}$×12=6，
由勾股定理得：OE=$\sqrt{O{D}^{2}-E{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
OF=$\sqrt{O{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴EF=OE+OF=6+8=14；
②当AB、CD在圆心O的同侧时，如图2，
同理得：EF=OF-OE=8-6=2，
综上所述，AB和CD的距离为14或2．

点评 本题考查了垂径定理和两平行线的距离，熟练掌握垂径定理，应用了垂直弦的直径平分这条弦，恰当地作辅助线构建半径和弦心距，这是圆中常作的辅助线，要熟练掌握；本题还考查了分类讨论的思想，分别求出弦心距作和与差得出两平行线的距离．