Question

12．如图，以AB=6为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF=3．

Answer 1

分析 由圆的内接四边形性质定理，结合三角相似的判定定理可以证得，△CEF∽△CBA，则我们可以找到EF与已知长度的AB边之间的比例等于两个相似三角形的相似比，故求出相似比是解决本题关键，由∠ACB=60°及AB为直径，我们不难求出相似比代入求解即可．

解答 解：如图，连接AE，
∵AB为圆的直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°
又∵∠ACB=60°，
∴CA=2CE，
由圆内接四边形性质易得：
∠CFE=∠CBA （由圆内接四边形对角互补，同角的补角相等得到的）
又∵∠C=∠C
∴△CEF∽△CBA，
∴$\frac{EF}{BA}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{1}{2}$
又∵AB=6，
∴EF=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，其中30°所对的直角边等于斜边的一半是解决本题的关键点，当已知中的条件可以得到一个等边三角形、平行四边形、直角三角形等特殊图形，我们经常利用这些图形特有的性质，得到相关的数量关系，进行求解．