Question

11．阅读材料：
材料1、若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=$-\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．
材料2、已知实数m、n满足m²-m-1=0，n²-n-1=0，且m≠n，求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值．
解：由题知m、n是方程x²-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1得
m+n=1，mn=-1
∴$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{mn}=\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$=$\frac{1+2}{-1}=-3$
根据上述材料解决下面问题；
（1）一元二次方程2x²+3x-1=0的两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$．
（2）已知实数m、n满足2m²-2m-1=0，2n²-2n-1=0，且m≠n，求m²n+mn²的值．
（3）已知实数p、q满足p²=3p+2，2q²=3q+1，且p≠2q，求p²+4q²的值．

Answer 1

分析 （1）直接根据根与系数的关系求解；
（2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程2x²-2x-1=0的两实数解，则根据根与系数的关系得到m+n=1，mn=-$\frac{1}{2}$，接着把m²n+mn²分解得到mn（m+n），然后利用整体代入的方法计算；
（3）先设t=2q，代入2q²=3q+1化简得到t²=3t+2，根据p与t满足的等式可把p与t（即2q）为方程x²-3x-2=0的两实数解，则根据根与系数的关系得到p+2q=3，p•2q=-2，接着利用完全平方公式变形得到p²+4q²=（p+2q）²-2p•2q，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：（1）x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$；
故答案为-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$；
（2）∵m、n满足2m²-2m-1=0，2n²-2n-1=0，
∴m、n可看作方程2x²-2x-1=0的两实数解，
∴m+n=1，mn=-$\frac{1}{2}$，
∴m²n+mn²=mn（m+n）=-$\frac{1}{2}$×1=-$\frac{1}{2}$；
（3）设t=2q，代入2q²=3q+1化简为t²=3t+2，
则p与t（即2q）为方程x²-3x-2=0的两实数解，
∴p+2q=3，p•2q=-2，
∴p²+4q²=（p+2q）²-2p•2q=3²-2×（-2）=13．

点评 本题考查了根与系数的关系：二次项系数不为1，则常用以下关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．