Question

20．根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P（元）与时间t（天）的关系如图所示，日销售量Q（件）与时间t（天）之间的关系如表所示．

t/天	5	15	20	30
Q/件	35	25	20	10

（1）根据图象，写出该产品每件销售价格P与时间t的函数解析式；
（2）在所给的直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对（t，Q）的对应点，并确定日销售量Q与时间t的一个函数解析式；
（3）在这30天内，哪一天的日销售金额最大？（日销售金额=每件产品销售价格×日销售量．

Answer 1

分析 （1）首先根据图象，当0＜t≤20时，设该产品每件销售价格P与时间t的函数解析式为：P=at+b，然后把（0，30）、（20，50）代入，求出P与时间t的函数解析式；然后求出20＜t≤30时，该产品每件销售价格P与时间t的关系即可．
（2）首先根据表中提供的数据描出实数对（t，Q）的对应点；然后设日销售量Q与时间t的一个函数解析式为Q=mt+n，把（5，35）、（15，25）代入，求出Q与时间t的函数解析式即可．
（3）首先根据题意，设日销售金额为y元，然后分两种情况：①0＜t≤20；②20＜t≤30；根据日销售金额=每件产品销售价格×日销售量，求出日销售金额与时间的关系式；然后分别求出0＜t≤20、20＜t≤30时日销售金额最大值，确定出在这30天内，哪一天的日销售金额最大即可．

解答 解：（1）当0＜t≤20时，设该产品每件销售价格P与时间t的函数解析式为：P=at+b，
把（0，30）、（20，50）代入，
可得$\left\{\begin{array}{l}{30=b}\\{50=20a+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=30}\end{array}\right.$，
所以当0＜t≤20时，
P=t+30；
当20＜t≤30时，
P=50；
综上，可得该产品每件销售价格P与时间t的关系为：
P=$\left\{\begin{array}{l}{t+30（0＜t≤20）}\\{50（20＜t≤30）}\end{array}\right.$；

（2）如图，，
设日销售量Q与时间t的一个函数解析式为Q=mt+n，
把（5，35）、（15，25）代入，
可得$\left\{\begin{array}{l}{35=5m+n}\\{25=15m+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=40}\end{array}\right.$，
所以Q=-t+40，
把（20，20）、（30，10）代入Q=-t+40，销售量Q与时间t的关系式也成立，
所以日销售量Q与时间t的一个函数解析式为：
Q=-t+40（0＜t≤30）

（3）设日销售金额为y元，
则y=$\left\{\begin{array}{l}{（t+30）（-t+40），（0＜t≤20）}\\{50（-t+40），（20＜t≤30）}\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}{{-t}^{2}+10t+1200，（0＜t≤20）}\\{-50t+2000，（20＜t≤30）}\end{array}\right.$
①当0＜t≤20时，
y=-t²+10t+1200
=-（t-5）²+1225
当t=5时，y_max=1225；
②当20＜t≤30时，
y=-50t+2000＜-50×20+2000=1000，
因为1000＜1225，
所以这30天内，第5天的日销售金额最大，是1225元．
答：在这30天内，第5天的日销售金额最大，是1225元．

点评 （1）此题主要考查了函数解析式的确定，考查了分类讨论思想的应用，注意自变量的取值范围．
（2）此题还考查了函数最值的求法，注意配方法的应用，注意函数单调性的判断，要熟练掌握．