如图.在平面直角坐标系xOy中.Rt△ABC的直角顶点C在抛物线y=ax2+bx上运动.斜边AB垂直于y轴.且AB=8.∠ABC=60°.当Rt△ABC的斜边AB落在x轴上时.B点坐标是.A点恰在抛物线y=ax2+bx上．(1)AB边上的高线CD的长为2$\sqrt{3}$,(2)Rt△ABC在运动过程中有可能被y轴分成两部分.当这两部分的面积相等时.求顶� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的直角顶点C在抛物线y=ax²+bx上运动，斜边AB垂直于y轴，且AB=8，∠ABC=60°，当Rt△ABC的斜边AB落在x轴上时，B点坐标是（-3，0），A点恰在抛物线y=ax²+bx上．
（1）AB边上的高线CD的长为2$\sqrt{3}$；
（2）Rt△ABC在运动过程中有可能被y轴分成两部分，当这两部分的面积相等时，求顶点C的坐标；
（3）P、M、N是抛物线上的动点且MN∥x轴（M在N的右侧），是否存在一个△PMN≌△CBA（点P与点C对应）？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据直角三角形两锐角互余求出∠A=∠BCD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC、BD，再利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）根据点B的坐标和AB的长度求出点A的坐标，再求出点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）设AB、BC与y轴的交点分别为E、F，然后利用三角形的面积求出BE，再表示出DE，从而得到点C的横坐标，再根据点C在抛物线上，把点C的横坐标代入抛物线求解得到点C的纵坐标即可得解．
（4）如图2中，不存在一个△PMN≌△CBA（点P与点C对应），假设存在△PMN≌△CBA，作PH⊥MN于H．先求出点M的坐标，再求出点P的坐标，证明点P不在抛物线的图象上，即可解决问题．

解答解：（1）∵∠CAB=60°，CD是斜边AB上的高，
∴∠B=∠ACD=90°-60°=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×4=2，
在Rt△ACD中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；
故答案为2$\sqrt{3}$．

（2）∵点B坐标是（-3，0），AB=8，
∴点A的坐标为（ 5，0），
∴OB=3，BD=2，
∴点C的坐标为（-1，2$\sqrt{3}$），
∵点A（ 5，0），C（-1，2$\sqrt{3}$）都在抛物线y=ax²+bx上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b=0}\\{a-b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{5\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
所以，抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x；

（3）如图1中，设AB、BC与y轴的交点分别为E、F，

则EF=AE•tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE，
∵Rt△ABC被y轴分成两部分，
∴$\frac{1}{2}$AE•EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AB•CD，
即 $\frac{1}{2}$AE•$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE=4$\sqrt{3}$，
解AE=2$\sqrt{6}$，
又∵AD=AB-BD=8-2=6，
∴点C的横坐标为-（6-2$\sqrt{6}$）=-6+2$\sqrt{6}$，
∵点C在抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x上，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（-6+2$\sqrt{6}$）²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$（-6+2$\sqrt{6}$）=30$\sqrt{3}$-34$\sqrt{2}$，
所以，点C的坐标为（-6+2$\sqrt{6}$，30$\sqrt{3}$-34$\sqrt{2}$）．

（4）如图2中，不存在一个△PMN≌△CBA（点P与点C对应）．理由如下，
假设存在△PMN≌△CBA，作PH⊥MN于H．

∵抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x的对称轴x=$\frac{5}{2}$，
∵MN=AB=8，
∴点M的横坐标为$\frac{5}{2}$+4=$\frac{13}{2}$，
∴点M的纵坐标为$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（$\frac{13}{2}$）²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$×$\frac{13}{2}$=$\frac{13\sqrt{3}}{4}$，
∴M（$\frac{13}{2}$，$\frac{13\sqrt{3}}{4}$），
∵△PMN≌△CBA，
∴PH=2$\sqrt{3}$HM=2，
∴P（$\frac{9}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{4}$），
对于抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x，当x=$\frac{9}{2}$时，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（$\frac{9}{2}$）²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$×$\frac{9}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴点P不在抛物线的图象上．
∴不存在一个△PMN≌△CBA．

点评本题是二次函数综合题型，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，勾股定理的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，（2）表示出点C的横坐标是解题的关键，（3）难点在于利用三角形的面积求出点B到y轴的距离，即BE的长度，（4）关键是假设存在，求出点P的坐标，判断点P是否在抛物线的图象上即可，本题有难度，属于中考压轴题．