Question

12．在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4$\sqrt{3}$，点P在菱形内，若PB=PD=4，则∠PDC的度数为90°或30°．

Answer 1

分析 分成P在OA上和P在OC上两种情况进行讨论，根据△ABD是等边三角形可得BD=AB=4$\sqrt{3}$，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{3}$，∠ADO=60°，再利用三角函数值可得∠PDO=30°，进而可得答案．

解答 解：设AC和BE相交于点O．
当P在OA上时，
∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4$\sqrt{3}$，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{3}$，∠ADO=60°，
∴cos∠PDO=$\frac{DO}{PD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠PDO=30°，
∴∠ADP=60°-30°=30°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC=180°-60°=120°，
∴∠PDC=120°-30°=90°，
当P在OC上时，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCB=∠DAB=60°，DC=BC，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∵∠PDO=30°，
∴∠PDC=30°，
故答案为：90°或30°．

点评 本题考查了菱形的性质，注意到P在AC上，应分两种情况进行讨论是解题的关键．