Question

如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是对角线AC的中点，连接BE、DE．
（1）求证：△BDE是等腰三角形．
（2）当∠BCD=

 

°时，△BDE是等腰直角三角形．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=DE=

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AC，再根据等腰三角形的定义判定即可；
（2）根据等边对等角可得∠CBE=∠ACB，∠DCE=∠CDE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．

解答：（1）证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，E是对角线AC的中点，
∴BE=DE=CE=

1

2

AC，
∴△BDE是等腰三角形；

（2）解：∵BE=CE=DE，
∴∠CBE=∠ACB，∠DCE=∠CDE，
由三角形的外加性质得，∠AEB=∠ACB+∠CBE=2∠ACB，
∠AED=∠CDE+∠DCE=2∠DCE，
∴∠BED=∠AEB+∠AED=2（∠ACB+∠DCE）=2∠BCD，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴∠BED=90°，
∴2∠BCD=90°，
∴∠BCD=45°．
故答案为：45．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．