Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，E为AB边上一点，且CE⊥BD，垂足为O，求证：
（1）BD是线段CE的垂直平分线．
（2）∠ADE=∠ABC．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）由条件可证明△BOE≌△BOC，可证得BE=BC，再证明△BDE≌△BDC，可证得DE=DC，可证得结论；
（2）结合（1）可证明∠AED=∠ACB=90°，可证明∠ADE=∠ABC．

解答：证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO=∠CBO，
∵CE⊥BD，
∴∠BOE=∠BOC，
在△BOE和△BOC中，

∠EBO=∠CBO BO=BO ∠EOB=∠COB

，
∴△BOE≌△BOC（ASA），
∴BE=BC，
在△BDE和△BDC中，

BE=BC ∠EBD=∠CBD BD=BD

，
∴△BDE≌△BDC（SAS），
∴DE=DC，
∴点B、D都在线段AC的垂直平分线上，
∴BD是线段CE的垂直平分线；
（2）由（1）可知△BDE≌△BDC，
∴∠BED=∠ACB=90°，
∴∠A+∠ADE=∠A+∠ABC，
∴∠ADE=∠ABC．

点评：本题主要考查线段垂直平分线的判定和性质，掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．