题目内容
18．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，有下列四种说法：①a•b=c•h；②a+b＜c+h；③以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形；④$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$．其中正确的有（ ）| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
分析 ①根据三角形面积公式即可求解；
②证明（a+b）2＜（c+h）2；
③直角三角形，证明（a+h）2+h2=（c+h）2；
④只需证明h2（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$）=1，从左边推导到右边．
解答 解：①∵Rt△ABC的面积为：$\frac{1}{2}$ab或$\frac{1}{2}$ch，
∴ab=ch，故①正确；
②∵c2＜c2+h2，a2+b2=c2，
∴a2+b2＜c2+h2，
∵ab=ch，
∴a2+b2+2ab＜c2+h2+2ch，
∴（a+b）2＜（c+h）2，
∴a+b＜c+h，故②正确；
③∵（c+h）2=c2+2ch+h2，
h2+（a+b）2=h2+a2+2ab+b2，
∵a2+b2=c2，（勾股定理）
ab=ch（面积公式推导）
∴c2+2ch+h2=h2+a2+2ab+b2，
∴（c+h）2=h2+（a+b）2，
∴根据勾股定理的逆定理知道
以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形，③正确；
④∵ab=ch，
∴（ab）2=（ch）2，即a2b2=c2h2，
∵a2+b2=c2，
∴a2b2=（a2+b2）h2，
∴$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=h2，
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$，故④正确．
故选：D．
点评 此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题，在证明过程中，注意面积关系式ab=ch的应用．
云南师大附小一线名师提优作业系列答案| A． | 周长扩大16倍 | B． | 周长缩小16倍 | C． | 面积扩大16倍 | D． | 面积缩小16倍 |
定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形构成一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，则BN的长为（ ）| A． | $\sqrt{5}$ | B． | $\sqrt{13}$ | C． | $\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$ | D． | 无法确定 |
A、B两地的位置如图所示，则A在B的（ ）| A． | 南偏东30° | B． | 东偏南60° | C． | 西偏北30° | D． | 北偏西60° |