Question

（1）观察下列式子：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

；

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

；…
由此可以推测：

1

42

=

 

，

1

72

=

 

；
（2）请猜想出能表示出（1）的特点的一般规律，用含字母n的等式表示出来（n为正整数），并证明；
（3）请用（2）中的规律计算：

1

(x-2)(x-3)

-

2

(x-1)(x-3)

+

1

(x-1)(x-2)

．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：规律型

分析：（1）

1

42

可化为6与7的倒数之差；

1

72

可化为8与9的倒数之差；
（2）观察（1）的各式，每个分数的分母为两个连续的整数之积，则这个分数等于两整数的倒数之差；
（3）利用（2）中规律展开得到原式=

1

x-2

-

1

x-3

-（

1

x-1

-

1

x-3

）+

1

x-1

-

1

x-2

，然后去括号合并即可．

解答：解：（1）

1

42

=

1

6×7

=

1

6

-

1

7

；

1

72

=

1

8×9

=

1

8

-

1

9

．
故答案为

1

42

=

1

6

-

1

7

；

1

72

=

1

8

-

1

9

；
（2）一般规律为

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n≥1的整数）．
证明：

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

；
（3）原式=

1

x-2

-

1

x-3

-（

1

x-1

-

1

x-3

）+

1

x-1

-

1

x-2

=

1

x-2

-

1

x-3

-

1

x-1

+

1

x-3

+

1

x-1

-

1

x-2

=0

点评：通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．