Question

如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，在射线BD上取一点P，使BP=kAC，在射线CF上取一点E，使∠AEC+∠BAP=180°．探究AP与AE的数量关系．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：延长BA，过P作PF⊥BA，设CE交AB于点O，可先证明△PFA∽△AOE，再证明△PFB∽△AOC，利用相似三角形的性质可得到AP和AE的数量关系．

解答：解：AP=kAE，证明如下：
延长BA，过P作PF⊥BA，设CE交AB于点O，
∵∠AEC+∠BAP=180°，∠FAP+∠BAP=180°，
∴∠E=∠FAP，∠AOE=∠AFP=90°，
∴△PFA∽△AOE，
∴

AP

AE

=

PF

AO

，
∵AC⊥BD，AB⊥EC，
∴∠BAC+∠ABD=∠BAC+∠ECA=90°，
∴∠ABP=∠ACE，且∠PFB=∠AOC=90°，
∴△PFB∽△AOC，
∴

AP

AE

=

BP

AC

=k，
∴AP=kAE．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，过P作垂线构造△PFA∽△AOE是解题的关键，注意相似三角形的对应边成比例．