Question

13．当m取何值时，方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}-6x-4y+4=0}\\{mx-y+3=0}\end{array}\right.$
（1）只有一个解，并求出这个解．
（2）有两个不同的实数解．
（3）无实数解．

Answer 1

分析 先将原方程组变为关于y的一元二次方程，根据△=0、△＞0、△＜0，分别计算m的值即可．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}-6x-4y+4=0①}\\{mx-y+3=0②}\end{array}\right.$，
由①得：x=$\frac{{y}^{2}-4y+4}{6}$③，
把③代入②得：$\frac{m（{y}^{2}-4y+4）}{6}$-y+3=0，
my²-（4m+6）y+4m+18=0，
△=[-（4m+6）]²-4m（4m+18）=-24m+36，
（1）当△=0时，方程组只有一个解，
-24m+36=0，
m=$\frac{3}{2}$，
把m=$\frac{3}{2}$代入my²-（4m+6）y+4m+18=0中得：$\frac{3}{2}{y}^{2}-12y+24=0$，
y²-8y+16=0，
y₁=y₂=4，
∴x₁=x₂=$\frac{2}{3}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，方程组只有一个解，这个解是：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=4}\end{array}\right.$，
（2）当△＞0时，方程组有两个不同的实数解，
-24m+36＞0，
m＜$\frac{3}{2}$，
∴当m＜$\frac{3}{2}$时，方程组有两个不同的实数解，
（3）当△＜0时，方程组无实数解，
-24m+36＜0，
m＞$\frac{3}{2}$，
∴当m＞$\frac{3}{2}$时，方程组无实数解．

点评 此题考查了高次方程组和一元二次方程的解的情况，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的情况是关键．