Question

16．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．
（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{8}$？
（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积列方程即可求出结果；
（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC，②若Rt△ABC∽Rt△PQC，然后列方程求解；
（3）根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中，PQ的长度能否为1cm．

解答 解：（1）经过t秒后，PC=4-2t，CQ=t，
当△CPQ的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{8}$时，
即$\frac{1}{2}×$（4-2t）•t=$\frac{1}{8}$×$\frac{1}{2}$×3×4，
解得；t=$\frac{3}{2}$或t=$\frac{1}{2}$；
∴经过$\frac{3}{2}$或$\frac{1}{2}$秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{8}$；

（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若Rt△ABC∽Rt△QPC则$\frac{AC}{BC}$=$\frac{QC}{PC}$，即$\frac{3}{4}$=$\frac{t}{4-2t}$，解之得t=1.2；
②若Rt△ABC∽Rt△PQC则$\frac{PC}{QC}$=$\frac{AC}{BC}$，$\frac{4-2t}{t}$=$\frac{3}{4}$，解之得t=$\frac{16}{11}$；
由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或$\frac{16}{11}$秒；

（3）∵∠C=90°，
∴（4-2t）²+t²=1，
∵此方程无实数解，
∴在运动过程中，PQ的长度不能为1cm．

点评 本题考查了动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，特别是（2）注意分类讨论．