Question

8．如图，在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN．连接MF、NE． P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN．若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4，BC=3，则PC的长度是2．

Answer 1

分析 设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，首先求出AC=5，根据翻折变换知：AF=CE=3，于是可得AF+（CE-EF）=5，可得EF=1，在Rt△CFN中，NF=tan∠NCF•CF，在Rt△NFE中，NO²=NF²+OF²，求出NO的长，即NM=PQ=QC=2NO，PC=2$\sqrt{{PQ}^{2}-{QG}^{2}}$．

解答 解：设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5，
∵AF=CE=BC=3，
∴2AF-EF=AC，即6-x=5，
解得x=1，
∴EF=1，
∴CF=2，
在Rt△CFN中，tan∠DCA=$\frac{NF}{CF}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
解得NF=$\frac{3}{2}$，
∵OE=OF=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$，
∴在Rt△NFO中，ON²=OF²+NF²，
∴ON=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴MN=2ON=$\sqrt{10}$，
∵PQ∥MN，PN∥MQ，
∴四边形MQPN是平行四边形，
∴MN=PQ=$\sqrt{10}$，
∵PQ=CQ，
∴△PQC是等腰三角形，
∴PG=CG，
在Rt△QPG中，
PG²=PQ²-QG²，即PG=$\sqrt{10-9}$=1，
∴PC=2PG=2．
故答案为2．

点评 本题主要考查了翻折变换，还涉及平行四边形、菱形的证明，解答问的关键是求出EF的长，此题难度较大，要熟练掌握此类试题的解答，此类题经常出现中考试卷中，请同学们关注．