Question

5．已知：如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE，
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当∠A=90°时，判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的判断结论．

Answer 1

分析 （1）欲证△ABC是等腰三角形，又已知DE⊥AC，DF⊥AB，BF=CE，可利用三角形全等的判定和性质，得出两内角相等来证△ABC是等腰三角形；
（2）由三角形的全等得出DF=DE，再根据三个角是直角得出四边形AFDE是正方形．

解答 证明：（1）∵DE⊥AC、DF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°，
∵D是△ABC的边BC的中点，
∴DB=DC，
在Rt△BFD和Rt△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=CE}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BFD≌Rt△DEC（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）四边形AFDE是正方形，理由如下：
∵Rt△BFD≌Rt△DEC，
∴DF=DE，
∵∠BFD=∠CED=90°，∠A=90°，
∴四边形AFDE是正方形．

点评 此题考查全等三角形，关键是根据直角三角形的HL证明三角形全等，同时根据两内角相等来证等腰三角形和正方形的判定．