Question

1．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB=3，EC=$\frac{2}{3}$，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，AB=AC，推出∠BAD=∠CDE，得到△ABD∽△DCE；
（2）由△ABD∽△DCE，得到$\frac{BD}{AB}$=$\frac{CE}{DC}$，然后代入数值求得结果．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE；

（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{CE}{DC}$，
设CD=x，则BD=3-x，
∴$\frac{3-x}{3}$=$\frac{\frac{2}{3}}{x}$，
∴x=1或x=2，
∴DC=1或DC=2．

点评 本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用．