题目内容
4．
如图，点A、B为x轴上的两点，点C、D为y轴上的两点，经过A、C、B的抛物线C1的一部分与经过点A、D、B的抛物线C2的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“月线”．已知点C的坐标为（0，3），点M是抛物线C2：y=mx2-4mx-12m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；
（2）在第一象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC、CM、DA，当AC∥DM时，证明：AD∥CM．
分析 （1）令y=0代入y=mx2-4mx-12m，即可求出A、B两点的坐标；
（2）利用点A、B、C的坐标即可求出抛物线C1的解析式，再求出直线BC的解析式，然后设P的横坐标为a，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，所以△PBC的面积为$\frac{1}{2}$PF•OB，列出△PBC的面积与a的函数关系式，利用二次函数的性质即可求出△PBC的面积最大值；
（3）当AC∥DM时，AD∥CM，即证明四边形ACMD时平行四边形，所以只需要证明AC=DM即可，利用直线AC和DM的解析式可求出m的值，再由勾股定理求证AC=DM即可．
解答 解：（1）令y=0代入y=mx2-4mx-12m，
∴0=mx2-4mx-12m，
∴x=-2或x=6，
∴A（-2，0），B（6，0）；
（2）设抛物线C1的解析式为y=a（x+2）（x-6），
把C（0，3）代入y=a（x+2）（x-6），
∴3=-12a，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-6）=-$\frac{1}{4}$x2+x+3，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（6，0）和C（0，3）代入y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=6k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
设P的坐标为（a，-$\frac{1}{4}$a2+a+3），其中0＜a＜6，
过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，如图1，
把x=a代入y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∴y=-$\frac{1}{2}$a+3，
∴F（a，-$\frac{1}{2}$a+3），
∴PF=（-$\frac{1}{4}$a2+a+3）-（-$\frac{1}{2}$a+3）
=-$\frac{1}{4}$a2+$\frac{3}{2}$a，
∴△PBC的面积为：$\frac{1}{2}$PF•OE+$\frac{1}{2}$PF•BE
=$\frac{1}{2}$PF（OE+BE）
=$\frac{1}{2}$PF•OB
=-$\frac{3}{4}$a2+$\frac{9}{2}$a
=-$\frac{3}{4}$（a-3）2+$\frac{27}{4}$，
当a=3时，△PBC的面积最大值为$\frac{27}{4}$；
（3）如图2，由（1）可知：A（-2，0），C（0，3），
∴由勾股定理可知：AC=$\sqrt{13}$，
设直线AC的解析式为y=k1x+b1，
把A（-2，0）和C（0，3）代入y=k1x+b1，
$\left\{\begin{array}{l}{0=-2{k}_{1+}{b}_{1}}\\{3={b}_{1}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{3}{2}}\\{{b}_{1}=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+3，
∴令x=0代入y=mx2-4mx-12m，
∴y=-12m，
∴D（0，-12m），
由抛物线C2的解析式可知：M（2，-16m），
设直线DM的解析式为y=
k2x+b2，
∵AC∥DM，
∴k2=k1=$\frac{3}{2}$，
把D（0，-12m）代入y=$\frac{3}{2}$x+b2，
∴b2=-12m，
∴直线DM的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-12m，
∴-16m=3-12m，
∴m=-$\frac{3}{4}$，
∴D（0，9），M（2，12），
∴由勾股定理可求：DM=$\sqrt{（2-0）^{2}+（12-9）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴AC=DM，
∴四边形ACMD时平行四边形，
∴AD∥CM．
点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及二次函数的最值，待定系数法求解析式，勾股定理等知识，综合程度较高，考查学生灵活运用知识的能力．
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