题目内容
8．
如图，在Rt△ABC张，∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm，在Rt△DEF中，∠DFE=90°，EF=6cm，DF=8cm．点C，B，E，F在同一直线上，且B，F重合．现固定△ABC不动，将Rt△DEF沿直线BC以1cm/s的速度向点C平移，同时点P从点F出发，以2cm/s的速度向点D运动．设DE，DF两边分别于AB边交于M，N两点，在运动过程中，当PM=PN时，t的值为$\frac{32}{13}$．
分析 过点P作PH⊥MN于点H，由∠DFE=90°，∠C=90°可得出△BFN∽△BCA，从而得到∠D=∠B，FN=$\frac{3}{4}$t．再由∠D=∠B，∠DNM=∠BNF得出△DNM∽△BNF，找出∠DMN=90°即PH∥DM．由PM=PN结合等腰三角形的三线合一可知P为线段DN的中点，用t表示出PN和DN，解关于t的一元一次方程即可得出结论．
解答 解：过点P作PH⊥MN于点H，如图所示．
∵PM=PN，PH⊥MN，
∴MH=NH（等腰三角形三线合一）．
∵∠DFE=90°，∠C=90°，
∴DF∥AC，
∴△BFN∽△BCA，
∴$\frac{FN}{CA}=\frac{BF}{BC}$，∠D=∠B，
又∵BF=t，AC=9cm，BC=12cm，
∴FN=$\frac{3}{4}$t．
∵DF=8cm，PF=2t，
∴PN=PF-FN=$\frac{5}{4}$t，DN=DF-FN=8-$\frac{3}{4}$t．
∵∠D=∠B，∠DNM=∠BNF，
∴△DNM∽△BNF，
∴∠DMN=90°，
∴PH∥DM．
又∵MH=NH，
∴DP=PN，即DN=2PN，
∴有8-$\frac{3}{4}$t=2×$\frac{5}{4}$t，
解得：t=$\frac{32}{13}$．
点评 本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰三角形的三线合一、中线的定义以及解一元一次方程，解题的关键是找出PH为△NDM的中位线．本题属于中档题，难度不大，利用相似三角形的性质找到PH∥DM，且H为线段MN的中点即可．
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