Question

19．如图，正方形ABCD的边长为10，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G，对角线BD相交于点H，若BD=BF，求BE的长．

Answer 1

分析 由四边形ABCD正方形，BF=BD=10$\sqrt{2}$，由DF⊥DE，易证得△ADE≌△CDF，即可求得BE的长；

解答 （1）解：∵在正方形ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=10，
∴BD=10$\sqrt{2}$．
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°，∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDF}\\{AD=DC}\\{∠A=∠DCF}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF．
又∵BD=BF=10$\sqrt{2}$，
∴AE=CF=BF-BC=10$\sqrt{2}$-10，
∴BE=AB-AE=10-（10$\sqrt{2}$-10）=20-10$\sqrt{2}$，
即BE的长为20-10$\sqrt{2}$；

点评 此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想的应用．