Question

2．【观察发现】（1）如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P．
（2）如图2，在等边三角形ABC中，AB=4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为$2\sqrt{3}$．
【实践运用】
如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，若点P是BD上的动点，则MP+PN的最小值是5．
【拓展延伸】
（1）如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
（2）如图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB=∠CPB．保留画图痕迹，并简要写出画法．

Answer 1

分析 【观察发现】（2）根据勾股定理求出CE的长度即为所求；
【实践运用】作点N关于BD的对称点N′，连接MN′交BD于点P，求出MN′的长度即为所求；
【拓展延伸】（1）作点D关于AE的对称点D′，过点D′作D′P⊥AD，交AE于点Q，求出D′P的长度即可；
（2）作点C关于BD的对称点C′，连接AC′并延长交于BD于点P，则点P即为所求；

解答 解：
【观察发现】（2）如图

在等边三角形ABC中，AB=4，点E是AB的中点，
∴∠BEC=90°，BE=2，BC=4，
由勾股定理可求：CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=$2\sqrt{3}$，
∴BP+PE的最小值为$2\sqrt{3}$；
【实践运用】如图3，

作点N关于BD的对称点N′，连接MN′交BD于点P，此时MP+PN的最小，MP+PN=MN′，
∵菱形ABCD中，M、N分别是边BC、CD的中点，
∴由菱形的轴对称性可知，点N′为AD的中点，
易证MN′=AB，
∵菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，
∴∠APB=90°，AP=3，BP=4，
由勾股定理可求，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴MN′=AB=5，
∴MP+PN的最小值是5；
【拓展延伸】（1）如图4，

作点D关于AE的对称点D′，
∵AE是∠DAC的平分线，
∴点D′在AD上，
过点D′作D′P⊥AD，交AE于点Q，此时DQ+PQ最小，DQ+PQ=D′P，
∵正方形ABCD的边长为5，
∴AD′=5，∠D′AP=45°，
∴$\frac{D′P}{AD′}$=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得；D′P=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴DQ+PQ的最小值是$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
（2）
如图5，

作点C关于BD的对称点C′，连接AC′并延长交于BD于点P，则点P即为所求．

点评 此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理求线段长度是解题的关键．