Question

14．如图所示，在平面直角坐标系中，点A是x轴上一动点，过A作AC⊥x轴交抛物线y=x²+2x+2于点C，以AC为边作等边△ABC，高AD的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（-1，1），再根据等边三角形的性质得AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到AD的最小值．

解答 解：∵y=x²+2x+2=（x+1）²+1，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，1），
∵△ABC为等边三角形，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC，
∴当AC最短时，AD最小，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴AD的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了等边三角形的性质．