Question

6．如图，△ABC中，∠A=30°，AB=AC，BC=2，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点E，则线段AE、AD与$\widehat{DE}$围成的阴影部分的面积是 （　　）

• A． 2$\sqrt{3}$+2-$\frac{5}{6}$π
• B． $\sqrt{3}$+1-$\frac{5}{3}$π
• C． 2$\sqrt{3}$+2-$\frac{1}{2}$π
• D． $\sqrt{3}$+1-$\frac{1}{2}$π

Answer 1

分析 作DF⊥AB与F，根据等腰三角形的性质求出∠ABD=45°，根据S_阴影=S_△ABD-S_扇形BDE计算即可．

解答 解：作DF⊥AB与F，
∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=75°，
∴∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°，
在RT△BDF中，∠FBD=45°，BD=BC=2，
∴BF=DF=BDsin45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
在RT△ADF中，∠A=30°，
∴AD=2DF=2$\sqrt{2}$，AF=$\sqrt{6}$，
∴AB=AF+BF=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
∴S_阴影=S_△ABD-S_扇形BDE
=$\frac{1}{2}$×AB•DF-$\frac{45×π×{2}^{2}}{360}$
=$\sqrt{3}$+1-$\frac{1}{2}$π，
故选：D．

点评 本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$是解题的关键，解答时，要熟记锐角三角函数的定义以及等腰三角形的性质．