题目内容
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF=BG；
（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB=CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，若S△AEG=3$\sqrt{3}$，BG=6，求AC的长．
分析 （1）根据ASA证明△BCG≌△CAF，则CF=BG；
（2）先证明△ACG≌△BCG，得∠CAG=∠CBE，再证明∠PCG=∠PGC，即可得出结论；
（3）作△AEG的高线EM，根据角的大小关系得出∠CAG=30°，根据面积求出EM的长，利用30°角的三角函数值依次求AE、EG、BE的长，所以CE=3+$\sqrt{3}$，根据线段的和得出AC的长．
解答 证明：（1）如图1，∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACG=∠BCG=45°，
∴∠A=∠BCG，
在△BCG和△CAF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BCG}\\{AC=BC}\\{∠ACF=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△CAF（ASA），
∴CF=BG；
（2）如图2，∵PC∥AG，
∴∠PCA=∠CAG，
∵AC=BC，∠ACG=∠BCG，CG=CG，
∴△ACG≌△BCG，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠PCG=∠PCA+∠ACG=∠CAG+45°=∠CBE+45°，
∠PGC=∠GCB+∠CBE=∠CBE+45°，
∴∠PCG=∠PGC，
∴PC=PG，
∵PB=BG+PG，BG=CF，
∴PB=CF+CP；
（3）如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，
∵S△AEG=$\frac{1}{2}$AG•EM=3$\sqrt{3}$，
由（2）得：△ACG≌△BCG，
∴BG=AG=6，
∴$\frac{1}{2}$×6×EM=3$\sqrt{3}$，
EM=$\sqrt{3}$，
设∠FCH=x°，则∠GAC=2x°，
∴∠ACF=∠EBC=∠GAC=2x°，
∵∠ACH=45°，
∴2x+x=45，
x=15，
∴∠ACF=∠GAC=30°，
在Rt△AEM中，AE=2EM=2$\sqrt{3}$，
AM=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3，
∴M是AG的中点，
∴AE=EG=2$\sqrt{3}$，
∴BE=BG+EG=6+2$\sqrt{3}$，
在Rt△ECB中，∠EBC=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$BE=3+$\sqrt{3}$，
∴AC=AE+EC=2$\sqrt{3}$+3+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$+3．
点评 本题考查了全等三角形的性质和判定及等腰直角三角形的性质，证明两线段相等时，一般都是证明两线段所在的三角形全等，因此第一问只需要证明△BCG≌△CAF即可；第3问，如何得出30°角和作辅助线，利用到S△AEG=3$\sqrt{3}$列式是突破口．
已知：如图，D、E分别是△ABC两边AB、AC上的点，试问在下列条件下△ADE与△ACB是否相似，并说明理由．
如图，某人沿着30°的山坡前进1000m后侧得山顶的仰角为60°，又前进1500m便登上了山顶，求这座山的高度．（保留整数）